Standaarddeviatie in Lean Six Sigma

De standaarddeviatie is een statistische maat die aangeeft hoe ver de waarden in een dataset gemiddeld afwijken van het gemiddelde. In Lean Six Sigma is de standaarddeviatie de belangrijkste maat voor variatie in een proces: hoe kleiner de standaarddeviatie, hoe consistenter het proces presteert.

Het gemiddelde alleen vertelt je niet genoeg. Twee processen kunnen hetzelfde gemiddelde hebben maar totaal verschillend presteren. De standaarddeviatie maakt het verschil zichtbaar: het laat zien hoe sterk de waarden rondom dat gemiddelde schommelen.

Wat is de standaarddeviatie?

De standaarddeviatie is de gemiddelde afstand van alle meetwaarden tot het gemiddelde van de dataset. Een kleine standaarddeviatie betekent dat de waarden dicht bij het gemiddelde liggen en het proces stabiel is. Een grote standaarddeviatie betekent dat de waarden sterk verspreid zijn en het proces veel variatie vertoont.

In de statistiek wordt de standaarddeviatie aangeduid met het Griekse symbool σ (sigma) voor een populatie en met de letter s voor een steekproef. Dat onderscheid is belangrijk en komt verderop terug.

De naam Six Sigma is direct afgeleid van dit begrip. Het doel van Six Sigma is om de variatie in een proces zo ver terug te dringen dat de specificatiegrenzen van de klant op zes standaarddeviaties van het gemiddelde liggen. Dat correspondeert met een foutkans van slechts 3,4 per miljoen.

De formule voor de standaarddeviatie

De standaarddeviatie bereken je in vier stappen.

Stap 1: Bereken het gemiddelde van alle meetwaarden.
Stap 2: Bereken voor elke meetwaarde het verschil met het gemiddelde.
Stap 3: Kwadrateer al die verschillen en tel ze op.
Stap 4: Deel de som door het aantal meetwaarden en trek de vierkantswortel.

De formule voor de populatiestandaarddeviatie is:

De formule voor de steekproefstandaarddeviatie is:

Het verschil zit in de noemer: bij een steekproef deel je door n-1 in plaats van n. Dit heet de Bessel-correctie en zorgt voor een onvertekende schatting van de populatiestandaarddeviatie.

Stap voor stap berekenen: een voorbeeld

Stel dat je de doorlooptijd van vijf klantvragen meet in dagen: 4, 6, 5, 9 en 6.

Stap 1: Gemiddelde = (4 + 6 + 5 + 9 + 6) / 5 = 6 dagen.
Stap 2: Verschillen met het gemiddelde: -2, 0, -1, 3, 0.
Stap 3: Gekwadrateerde verschillen: 4, 0, 1, 9, 0. Som = 14.
Stap 4: Steekproefstandaarddeviatie s = √(14 / 4) = √3,5 = 1,87 dagen.

De gemiddelde doorlooptijd is zes dagen, maar de individuele metingen wijken gemiddeld 1,87 dag af van dat gemiddelde. Gekoppeld aan de empirische regel geeft dat het volgende beeld:

Binnen één standaarddeviatie (68% van de metingen): 6 – 1,87 = 4,13 dagen tot 6 + 1,87 = 7,87 dagen.
Binnen twee standaarddeviaties (95% van de metingen): 6 – 3,74 = 2,26 dagen tot 6 + 3,74 = 9,74 dagen.
Binnen drie standaarddeviaties (99,7% van de metingen): 6 – 5,61 = 0,39 dagen tot 6 + 5,61 = 11,61 dagen.

Praktisch betekent dit: 95% van de klantvragen wordt beantwoord binnen 2,26 tot 9,74 dagen. Of dat acceptabel is, hangt af van de klanteis. Heeft de klant een maximale doorlooptijd van zeven dagen afgesproken, dan laat deze spreiding zien dat een aanzienlijk deel van de vragen die norm overschrijdt.

Populatie versus steekproef: σ en s

In Lean Six Sigma werk je bijna altijd met een steekproef, niet met de volledige populatie. Dat heeft gevolgen voor de berekening en de notatie.

De populatiestandaarddeviatie σ gebruik je alleen als je alle elementen van de populatie hebt gemeten. Dat is in de praktijk zelden het geval.

De steekproefstandaarddeviatie s gebruik je als je werkt met een steekproef uit een grotere populatie, wat vrijwel altijd het geval is in verbeterprojecten. Bij de berekening deel je door n-1 in plaats van n. Dit heet de Bessel-correctie.

De reden is intuïtief. Als je een steekproef neemt, ken je het werkelijke gemiddelde van de populatie niet. Je schat dat gemiddelde op basis van je steekproef. Omdat je die schatting gebruikt in je berekening, introduceer je een kleine systematische fout: de spreiding in je steekproef wijkt altijd iets minder af van het steekproefgemiddelde dan van het echte populatiegemiddelde. Door te delen door n-1 in plaats van n corrigeer je voor die onderschatting. Hoe kleiner de steekproef, hoe groter de correctie. Bij grote steekproeven maakt het verschil tussen n en n-1 nauwelijks uit.

De 68-95-99,7 regel: de empirische regel

Bij een normaal verdeeld proces geldt de empirische regel: een vaste verdeling van datapunten rondom het gemiddelde. Ongeveer 68% van alle waarden valt binnen één standaarddeviatie van het gemiddelde. Ongeveer 95% valt binnen twee standaarddeviaties. En ongeveer 99,7% valt binnen drie standaarddeviaties.

Dit principe is de basis voor Statistical Process Control. De controlgrenzen UCL en LCL liggen standaard op drie standaarddeviaties boven en onder het gemiddelde. Elk datapunt buiten die grenzen is een signaal van bijzondere variatie en vraagt om een oorzakenanalyse.

Korte termijn versus lange termijn standaarddeviatie

In Lean Six Sigma maak je onderscheid tussen de korte termijn en lange termijn standaarddeviatie.

De korte termijn standaarddeviatie, ook wel within standaarddeviatie genoemd, meet de spreiding binnen subgroepen over een korte meetperiode. Ze geeft de inherente variatie van het proces weer als het stabiel is.

De lange termijn standaarddeviatie, ook wel overall standaarddeviatie genoemd, meet de spreiding over een langere periode en omvat ook variatie door verschuivingen in het procesgemiddelde. Die extra variatie ontstaat bijvoorbeeld door wisseling van ploegen, materiaalvariatie of seizoensinvloeden.

De verhouding tussen beide geeft inzicht in hoeveel extra variatie er in de loop van de tijd in het proces sluipt. Dat verschil is ook de basis voor de 1,5 sigma shift die in de Six Sigma-theorie wordt gebruikt om het verschil tussen korte en lange termijn procesprestaties te verklaren.

Standaarddeviatie berekenen in Excel

In Excel bereken je de standaarddeviatie met twee formules. Voor een steekproef gebruik je =STDEV.S(bereik). Voor een populatie gebruik je =STDEV.P(bereik). In de meeste verbeterprojecten gebruik je STDEV.S omdat je werkt met een steekproef uit een grotere populatie.

Standaarddeviatie en het sigma niveau

Het sigma niveau van een proces geeft aan hoeveel standaarddeviaties er passen tussen het procesgemiddelde en de dichtstbijzijnde specificatiegrens van de klant. Een hoger sigma niveau betekent minder defecten en een beter presterend proces.

Een drie sigma proces heeft een foutkans van ongeveer 0,27%, wat overeenkomt met 2.700 fouten per miljoen. Een zes sigma proces heeft een foutkans van 0,00034%, wat overeenkomt met 3,4 fouten per miljoen. Het terugdringen van de standaarddeviatie is dan ook een van de kernambities van elk Lean Six Sigma verbeterproject.

Standaarddeviatie in de praktijk

In verbeterprojecten gebruik ik de standaarddeviatie als startpunt om de spreiding in een proces in kaart te brengen. Maar de standaarddeviatie zegt pas iets als je hem combineert met het procesgemiddelde en de klanteis.

Een concreet voorbeeld: een gemeente heeft een doorlooptijd van gemiddeld tien werkdagen voor het afhandelen van vergunningaanvragen, met een standaarddeviatie van zes dagen. De wettelijke norm is veertien dagen. Op het eerste gezicht lijkt het proces binnen de norm te vallen. Maar de standaarddeviatie van zes dagen laat zien dat er enorme variatie zit: sommige aanvragen worden in vier dagen afgehandeld, andere duren zestien dagen of meer. Dat is voor de klant onvoorspelbaar en voor de organisatie een verbeterkans. De standaarddeviatie terugdringen is hier het doel, niet het gemiddelde verlagen.

Samenvatting

De standaarddeviatie geeft aan hoe ver de waarden in een dataset gemiddeld afwijken van het gemiddelde en is de belangrijkste maat voor variatie in Lean Six Sigma. Hoe kleiner de standaarddeviatie, hoe stabieler het proces. Bij een steekproef gebruik je s en deel je door n-1, bij een populatie gebruik je σ en deel je door N. Gekoppeld aan de empirische regel kun je zeggen dat 68% van de metingen binnen één standaarddeviatie valt, 95% binnen twee en 99,7% binnen drie. De standaarddeviatie zegt pas iets in combinatie met het procesgemiddelde en de klanteis: een proces kan een acceptabel gemiddelde hebben maar toch onacceptabel veel variatie vertonen. Het terugdringen van de standaarddeviatie is een van de kernambities van elk Lean Six Sigma verbeterproject.

Wil je leren hoe je de standaarddeviatie berekent en toepast in een verbeterproject? In de online Lean Six Sigma Black Belt training doorloop je de volledige statistische basis van Lean Six Sigma, inclusief procescapabiliteitsanalyse en Statistical Process Control. Bekijk de Black Belt training.